“考研数学” —— 做到更好，追求最好
南工程考研数学辅导材料之一
高
等
数
学
主编：
杨降龙
杨
帆
刘建新
翁连贵
吴业军
序
近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲” ，该考试大纲除了在 1996 年实施了一次重大的修补以外，从 1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解” ，“理解” ，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分 150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科
之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。
第一章
函数
极限与连续
考试内容
函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。
考试要求
1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。
3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。
6、掌握极限的性质与四则运算。
7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。
9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。
10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。
§ § 1 函数
一、函数的概念
二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；
四、函数的分类：初等函数、非初等函数。
例题
1、（88）已知2( ) , [ ( )] 1xf x e f x x ，且 ( ) 0 x ，求 ( ) x 及定义域。
2、（92）已知2( ) sin , [ ( )] 1 f x x f x x ，求 ( ) x 定义域。
3、设21( ) (1 1), 0 f x x xx ，求 ( ) f x 。
4、221 1(sin ) sin 3sin sinf x xx x ，求 ( ) f x 。
5、（97）22 , 0 , 0( ) , ( )2 , 0 , 0x x x xg x f xx x x x ,求 [ ( )] g f x 。
6、设1 , 0( )1, 0x xf xx ，求 [ ( )] f f x 。
7、（90）1, 1( )0, 1xf xx ，求 [ ( )] f f x 。
8、求222 1 00 1x xyx x 的反函数。
9、（96）设函数231 2 , 1( ) , 1 212 16, 2x xf x x xx x ， （1）写出 ( ) f x 的反函数 ( ) g x 的表达式； （2）
( ) g x 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。
10、设 ( ) f x 满足：1( ) ( ) , , ,caf x bf a b cx x 为常数，且 a b ，试证：
( ) f x 为奇函数。
11、 , ( ) x R f x 满足：22 ( ) (1 ) f x f x x ，求 ( ) f x 。
12、设 ( ) f x 连续，且sin( ) 2lim ( )xxf x f xx ，求 ( ),lim ( )xf x f x 。
13、（89）设 ( ) f x 连续，且10( ) 2 ( ) f x x f x dx ，求 ( ) f x 。
14、（97）设12201( ) 1 ( )1f x x f x dxx ，求10( ) f x dx。
§ § 2 极限
一、定义及性质
（1）唯一性；（2）局部有界性；（3）
局部保号性: :
0
( ) 0,(
( ) 0 ),
lim ( )
0
(
0 );x xf x f x f x A A A （i）
若 或 且 ， 则 或
00 0
lim ( )
0
(
A 0 ), U( , ), U( , )
( ) 0
(
( ) 0 );o ox xf x A x x x f x f x （ii）
若 或 则 ， 或
二、求极限的方法（重点）
1、用定义证明和观察法 如 lim arctan ; lim arctan ;2 2x xx x
1 10 0lim ; lim 0x xx xe e
。
2、用极限的四则运算法则和函数的连续性 3、用两个重要极限：
0sin) lim 1xxix
（或 1sinlim0uuu）
注意比较如下几个极限：
sinlim 0xxx ， 1sinlim0xxx， 11sin lim xxx， 01sin lim0xxx 101 1) lim(1 ) , lim(1 ) , lim(1 )x nxx n xii e e x ex n
一般形式：
e uuu 10) 1 ( lim ， euuu )11 ( lim
通常对于含三角函数的00型极限用 i)，对于 1 型极限用 ii)。
4、(1) 用等价无穷小计算极限
0 x 时，常见的 等价无穷小有 sin , tan , ln(1 ), 1, arcsin , arctan ~ ,xx x x e x x x
211 cos ~ , (1 ) 1~ ( 0)2x x x x . 注意：
x 的广泛的代表性
u u e u u uuarctan , arcsin , 1 ), 1 ln( , tan , sin ～ u
u cos 1 ～221u , 1 ) 1 ( u ～ u 等 (2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。
5、用罗必达法则
设（1）
) ( 0 ) ( lim x f ， ) ( 0 ) ( lim x F ，（0x x 或 x ）
（2）在0x 的某个去心邻域内（当 x 充分大时）
) ( ), ( x F x f 可导，且 0 ) ( xF
（3）
) () () (lim Ax Fx f 则
) () (limx Fx f) () () (lim Ax Fx f
基本类型有00和。对于 0 , ，可以通过初等变形转化为00和。对于0 01 , , 0 ，通过取对数再用罗必达法则。
6、用变量代换 注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算0x x 的极限时，如果被求极限中含有0x x 的因式时，可以令0x x = t ；在计算 x 的极限中，如果被求极限中含有x1，则可令 tx1。在研究生数学入学考试中不常出现 7、用极限存在的二个准则 i)夹逼（两边夹）定理； ii)单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。
8、利用导数定义(ch.2)
9、用定积分定义(ch.3)
当已知函数 ) (x f 可积时，有
101) (1) ( lim dx x fn nifnin， 101) (1) ( lim dx ax fn niafnin=adx x fa0) (1
101) (1) ( lim dx x a fn nia fnin= 1) (aadx x f
banindx x fna bni a ba f ) ( )) (( lim1 10、用微分和积分中值定理(ch.2)
11、用 Taylor 公式(ch.2) 注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：
分段函数在分段点的极限；
0x x 时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；
0x x 时，含有形如01x xa因式的极限。
三、无穷小阶的比较
设 , 均为无穷小，且不为 0，如果：
（1）
lim / 0 时，则称 是 的高阶无穷小，或称 是 的低阶无穷小，记 0( ) 。
（2）
lim / 0 c 时，则称 与 为同阶无穷小，特别当 1 c 时，称 与 是等价无穷小。
（3）
lim / 0kc 时，则称 是 的 k 阶无穷小。
注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有：
已知函数 ) (x f 与另一已知函数 ) (x g 是同阶无穷小，求 ) (x f 中所含的参数；
当函数 ) (x f 满足什么条件时，是nx 的同阶（高阶）无穷小；
将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。
例题
（一）极限的计算
1、（00）设对任意的 x，总有 ( ) ( ) ( ) x f x g x ，且 lim[ ( ) ( )] 0xg x x ，则 lim ( )xf x：
（A）存在且等于零，
（B）存在但不一定为零， （C）一定不存在，
（D）不一定存在。
2、（1）0sinlimcos sinxxe xx x x；
（2）20tanlimsinxx xx x；
（3）（97）2013sin coslim(1 cos ) ln(1 )xx xxx x ；
（4）（00）30arctanlimln(1 2 )xx xx。
3、（1）01 1 tanlim1 1 sinxx xx x ；
（2）（99）201 tan 1 sinlimln(1 )xx xx x x 。
4、（1）（00）1402 sinlim( )1xxxe xxe。
（2）（05）（数三、四）
x exxx111lim0
)23(
5、（1）1lim[(1 ) ]xxe xx ；
（2）2lim ( 100 )xx x x 。
6、（1）（04）求极限301 2 coslim [( ) 1]3xxxx ；
（2）（93）23 5 2lim sin5 3xxx x； 7、（1）（99）201 1lim( )tanxx x x ；
（2）（94）21lim[ ln(1 )]xx xx 。
8、（1）（03）21ln(1 )0lim(cos )xxx；
（2）31 1 1lim , ( , , 0)3xx x xxa b ca b c 。
9、（05）设函数 ) (x f 连续，且 0 ) 0 ( f ，求极限xxxdt t x f xdt t f t x000) () ( ) (lim
)21(
10、（07）30sin arctanlimxx xx=
。
（二）关于数列极限：
10、（03）设 , ,n n na b c 均为非负数列，且 lim 0, lim 1, limn n nn n na b c ，则必有：
（A）n na b 对任意 n 成立；
（B）n nb c 对任意 n 成立； （C）极限 limn nna c不存在；
（D）极限 limn nnb c不存在。
11、（98）设数列nx 与ny 满足 lim( ) 0n nnx y ，则下列判断正确的是：
（A）若nx 发散，则ny 必发散，
（B）若nx 无界，则ny 必有界， （C）若nx 有界，则ny 必为无穷小，
（D）若1nx为无穷小，则ny 必为无穷小。
12、（1）（98）2 1lim( tan ) nnnn ；
（2）
lim ( 1)nnn n 。
（3）（02）2 1limln[ ](1 2 )nnn nan a
13、1 22, 2 2,..., 2 2 2nx x x ，求 limnnx。
14、（96）1 110, 6n nx x x ，证明 limnnx存在并求之。
15、（97）设1 11 12, ( )2n nna a aa ，证明：
limnna存在。
16、设1 112, 2 , ( 1)nnx x nx ，求 limnnx。
17、（06）设数列 nx 满足 10 x ，n nx x sin1， , 2 , 1 n
证明：（1）
limnnx存在，并求该极限；
（2）计算211limnxnnnxx 18、2 2 21 1 1lim( .... )1 2nn n n n 。
19、（95）2 2 21 2lim( .... )1 2nnn n n n n n n 。
（三）极限中常数的确定
20、（04）若0sinlim (cos ) 5xxxx be a ，求 a、b。
21、（1）（97）设 0 x 时，tan x xe e 与nx 是同阶无穷小，则 ? n
（2）（96）设 0 x 时，1( )1xaxf x ebx 为 x 的三阶无穷小，求 a, b。
（3）（05 数二）当 0 x 时，2) ( kx x 与 x x x x cos arcsin 1 ) ( 是等价无穷小，则
k ？
（4）设xdt t x fcos 102sin ) ( ，6 5) (6 5x xx g ，则当 0 x 时 ) (x f 是 ) (x g 的（
）
A ：低阶无穷小
B ：高阶无穷小
C ：等价无穷小
D ：同阶但不等价无穷小 （5）（06）试确定常数 C B A , , ，使得
（1/3，-2/3，1/6）
) ( 1 ) 1 (3 2x o Ax Cx Bx e x
22、（98）求 a, b, c，使30sinlim , ( 0)ln(1 )xxbax xc ctdtt 。
23、（94）设22 20tan (1 cos )lim 2, 0ln(1 2 ) (1 )xxa x b xa cc x d e ，则有：
（A）
4 b d ，
（B）
4 b d ，
（C）
4 a c ，
（D）
4 a c 。
24、（1）（01）设当 0 x 时，2(1 cos )ln(1 ) x x 是比 sinnx x 高阶的无穷小，而 sinnx x 是比2( 1)xe 高阶的无穷小，则正整数 n 等于：
（A）1，
（B）2，
（C）3，
（D）4。
（ 2 ）
（ 01 ）
已 知 ( ) f x 在 ( , ) 内 可 导 ， 且 lim ( )xf x e ，lim( ) lim[ ( ) ( 1)]xx xx cf x f xx c ，求 c 的值。
25、（02）设函数 ( ) f x 在 0 x 的某个领域内具有一阶连续导数，且 (0) 0, (0) 0 ff ，若( ) (2 ) (0) af h bf h f 在 0 h 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值。
26、 （02）设函数 ( ) f x 在 0 x 的某领域内具有二阶连续导数，且 (0) 0 f ， (0) 0f ， (0) 0f ，
证明：存在惟一的一组实数1 2 3, , ，使得 当 0 h 时，1 2 3( ) (2 ) (3 ) (0) f h f h f h f 是比2h 高阶的无穷小。
27、3 3 21lim( )3xax bx x x ，求 a, b。
§ §3 3
连续与间断
一、 ( ) f x 在点0x 连续）
（重点）：000
lim ( ) ( )
lim 0 x x xf x f x y 或 。
初等函数在定义区间内是连续的，分段函数分界点的连续性要用定义讨论。
二、若 ( ) f x 在点 a 不连续，称 a 为 ( ) f x 的间断点。间断点分两类：
第一类间断点（左、右极限都存在）：可去间断点（左、右极限都相等）和跳跃间断点（左、右极限不相等）
第二类间断点：无穷间断点（至少有一侧极限为无穷大），振荡间断点等。
注意：这一部分在数三、四中是一个常考的考点，主要以已知连续性或间断点的类型确定参数，计算题中以讨论间断点类型并补充定义使其连续为主；在数一、二中一般不单独以单个概念出题，通常会跟函数的建立、极限、微分方程等概念结合考查。
三、闭区间上连续的函数有以下性质：
1）最值定理：闭区间上连续的函数一定取到最大值 M 和最小值 m（必有界）； 更一般地：我们可以得到如下结论
设 ( ) f x 在开区间 ) , ( b a 内连续，且 ) ( lim x fa x 及 ) ( lim x fb x 都存在，则 ( ) f x 在 ) , ( b a 内有界。
2）介值定理：闭区间上连续的函数一定取到介于最小值和最大值 M 之间的任一数；
3）零点定理：设 ( ) f x 在 [ , ] a b 上连续， ( ) f a 与 ( ) f b 异号，则至少有一点 ( , ) a b ，使得( ) 0 f 。
推广的零点定理：
设 ( ) f x 在区间 ) , ( 上连续，且 ) ( ) ( lim x fx， ) ( ) ( lim x fx，则至少存在一点 ) , ( ，使 0 ) ( f
例 题
1（02）设函数tan210( ) arcsin20xxexxf xae x 在 0 x 处连续，则 a=
。
2（03）
设函数32ln(1 )0arcsin( ) 6 010sin4axaxxx xf x xe x axxxx
，问 a 为何值时， ( ) f x 在 0 x 处连续；a为何值时， 0 x 是 ( ) f x 的可去间断点？
3、（00）设函数 ( )bxxf xa e在 ( , ) 内连续，且 lim ( ) 0xf x ，则常数 a、b 满足：
（A）
0, 0 a b ,
（B）
0, 0 a b ,
（C）
0, 0 a b ,
（D）
0, 0 a b .
4、（05）设11) (1 xxex f ，则（
）
（A）
1 , 0 x x 都是 ( ) f x 的第一类间断点。
（B）
1 , 0 x x 都是 ( ) f x 的第二类间断点。
（C）
0 x 是 ( ) f x 的第二类间断点, 1 x 是 ( ) f x 的第二类间断点
（D）
0 x 是 ( ) f x 的第二类间断点， 1 x 是 ( ) f x 的第一类间断点 5、（04）设2( 1)( ) lim1nn xf xnx，则 ( ) f x 的间断点为 x
。
6、（98）设21( ) lim1nnxf xx，讨论 ( ) f x 的间断点，结论为：
（A）不存在间断点，
（B）存在间断点 1 x ，
（C）存在间断点 0 x ，
（D）存在间断点 1 x 。
7、下列命题中正确的是（
）
（A）设函数 ( ) f x 在0x x 处连续, ) (x g 在0x x 处不连续，则 ( ) f x + ) (x g 在0x x 处必不连续 （B）
( ) f x ， ) (x g 都在0x x 处不连续，则 ( ) f x + ) (x g 在0x x 处必不连续
（C）
设函数 ( ) f x 在0x x 处连续， ) (x g 在0x x 处不连续，则 ( ) f x ) (x g 在0x x 处必不连续
（D）
( ) f x ， ) (x g 都在0x x 处不连续，则 ( ) f x ) (x g 在0x x 处必不连续 8、（98）求tan( )4( ) (1 )xxf x x 在 (0, 2 ) 内的间断点及类型。
9、（07）函数) (tan ) () (11e e xx e ex fxx在 ] , [ 上的第一类间断点是 x
(A)
0;
(B)
1;
(C)
2 ;
(D)
2。
10、设 ( ) f x 在 [ , ] a b 上连续，且2 2( ) a f x b ，求证：
[ , ] a b ,使2( ) f 。
11、 ( ) f x 在 [0,1] 上非负连续， (0) (1) 0 f f ，证明：对0(0 1), [0,1] l R l x ，使0 0( ) ( ) f x f x l 。
12、证明：方程 0 cos x q p x 恰有一个实根，其中 q p, 为常数，且 1 0 q
13、设 ( ) [ , ] f x a b 在 上连续，1 2a x x b ，试证，对 两个正数1t 与2t ，一定 点 [ , ] c a b ，使1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) t f x t f x t t f c 。
（本题的证明思想应掌握，并应能将结论推广到更为一般的情况）
14、（04）函数2sin( 2)( )( 1)( 2)x xf xx x x 在下列哪个区间内有界：
（A）（－1，0）；
（B）（0，1）；
（C）（1，2）；
（D）（2，3）。
单元练习
1、 求函数 ) sin( ) ( x x f 的定义域 2、 函数 ) 1 ln( ) (1 xe x f 的定义域为 ______________。
3、 若 ) (x f 的定义域为（0，1），则函数 ) 1 ( xe f 的定义域为___________。
4、 xe x x x fcossin ) ( ， ) , ( x 是
（
）
（A）有界函数
（B）单调函数
（C）周期函数
（D）偶函数
５、为偶数为奇数nnnnn nx n12，则当 n 时，nx 是
（
）
（A）无穷大量
（B）无穷小量
（C）有界变量
（D）无界变量
６、设 ) (x f 是连续函数，且 10) ( 2 ) ( dt t f x x f ，则 ) (x f ＝_____________
7、当 0 x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小
（
）
（A）2x
（B）
1 12 x
（C）
x x tan
（D）2cos 1 x
8、设 ) (x f ， ) (x g 在 0 x 的某个领域内连续，且当 0 x 时 ) (x f 是 ) (x g 高阶的无穷小，则当0 x 时， xtdt t f0sin ) ( 是 xdt t tg0) ( 的
（
）
（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小
（C）同阶但不等价无穷小 （D）等价无穷小
9、xdtttx50sin) ( ， xtdt t xsin01) 1 ( ) ( ，则当 0 x 时 ) (x 是 ) (x 的
（
）
（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小
（C）同阶但不等价无穷小 （D）等价无穷小
10、已知 2) ( ) 1 ln(lim220 xbx ax xx，则
（
）
（A）25, 1 b a
（B）
2 , 0 b a
（C）25, 0 b a
（D）
2 , 1 b a
11、当 0 x 时，变量x x1sin12是
（
）
（A）无穷大量
（B）无穷小量 （C）有界变量，但不是无穷小
（D）无界变量，但不是无穷大
12、 )11 1( lim0xxe x
13、 ) 3 ( lim n n n nn
14、 ))11 ln( ( lim2xx xx
15、 ) 0 )]( 1 ln( )1( [ lim220 a ax ax xax
16、 )11 ln( sin )11 ln( sin limx xxx
17、x x xdu dt tx uxcos) 1 arctan(lim0 002 18、（1）设1 112sin 1) 1 cos( ln) (xxxxx f，问 ) (x f 在 1 x 处是否连续，若不连续，修改函数在 1 x 处的定义，使之连续。
（2）（06）设函数0 ,0 , sin1) (033x ax dt txx fx在 0 x 连续，则 a
。
19、讨论函数 31 111arctan ) (x x xx f 的连续性
20、研究函数n nnx x f21 lim ) ( 的连续性
21、讨论函数 x x x xx f11111 1) ( 的间断点，并指出其类型
22、设 3 01 x ， ) 3 (1 n n nx x x ，证明数列 nx 收敛，并求nnx lim
23、若 ) (x f 在区间 ] , [ b a 上连续， b x x x an 2 1，证明存在 ] , [2 1x x ，使
nx f x f x ffn )( ) ( ) () (2 1
结论可以改成：存在 ] , [2 1x x ，使
nx f t x f t x f tfn n) ( ) ( ) () (2 2 1 1 ， ) 1 0 ( , 11 iniit t
答案：1、定义域：
222 21 2 4 n x n ；2、 ) , 1 ( ；3、 ) 2 ln , 0 ( ；4、 D ；5、 D ； 6、 1 ) ( x x f ；7、 D ；8、 B ；9、 C ；10、 A ；11、 D ；12、 2 1 ；13、2；14、 2 1
15、 22a ；16、2；17、6；18、在 1 x 处不连续，改变定义使24) 1 ( f 可使函数在 1 x连续；19、 3 , 1 , 0 x 均为第一类间断点；20、函数在 ) , ( 上处处连续；21、 1 , 0 x 是可去间断点， 1 x 是无穷间断点；22、23lim nnx ；23、在区间 ] , [2 1x x 上应用最值定理